определить равный вероятный интервал

Question

введите описание изображения здесь

Я получил апостериорную плотность для части d: $ 2 theta ^ {- 1} (1-theta) ^ {- 1} $. Как построить график распределения в R, чтобы найти такие l и u, что $ F_ {theta | x} (l) = 0,025 $ и $ F_ {theta | x} (u) = 0,975 $? (интервал равных хвостов)

Answer 1

Ваш результат ошибочный. По теореме Байеса апостериорная плотность пропорциональна p (theta) P (X = 2 | theta) = 1-theta . Итак, мы признаем Бета-распределение Бета (1,2) . Чтобы отобразить его в R, вы можете сделать:

curve(dbeta(x, 1, 2), from = 0, to = 1)

Теперь апостериорный равно-хвостовой вероятный интервал задается квантилями этого распределения. В R:

qbeta(0.025, 1, 2) # lower bound
qbeta(0.975, 1, 2) # upper bound

Если вы не знаете бета-распределение, вы можете получить эти квантили с помощью элементарных вычислений. Интеграл от 1-тета на [0,1] равен 1/2 . Итак, апостериорная плотность равна 2 (1-тета) (она должна интегрироваться в единицу). Таким образом, апостериорная кумулятивная функция распределения равна 2 (тета - тета² / 2) = -theta² + 2theta . Чтобы получить p-квантиль (с p = 0,025 и p = 0,975), вы должны решить уравнение -theta² + 2theta = p in theta . Это полиномиальное уравнение второй степени, которое легко решить.

Answer 2

Найти центральный 95% ДИ на самом деле проще, чем найти 95% HPD. Поскольку у вас есть плотность (PDF), вы также знаете CDF. Нижний и верхний пределы центрального 95% доверительного интервала определяются как CDF (l) = 0,025 и CRF (u) = 0,975.