С Silverlight (любая версия) проблема не столько в подключении к базе данных. В Silverlight у вас его нет. Единственное, что вы можете сделать - это перезвонить на сервер, с которого исходил запрос.
Из-за этого вам нужно будет запустить какой-то локальный экземпляр IIS и подключиться к нему, который, в свою очередь, затем подключится к локальному экземпляру SQL.
Дело в том, что если ваше SL-приложение было загружено с вашего сайта, а затем связь была потеряна, ваше приложение не могло его обнаружить. Вам придется перейти на новую ссылку на сервер на локальном компьютере, а затем переключить их обратно, когда у них снова будет подключение.
Для чего-то подобного, вероятно, лучше придерживаться приложения Winforms и определить, есть ли у вас подключение к нему. Таким образом, вы можете переключаться между базами данных, к которым вы обращаетесь, когда у вас нет подключения.