Преобразовать единичный вектор в кватернион

Question

Итак, я очень плохо знаком с кватернионами, но я понимаю основы того, как с ними манипулировать.В настоящее время я пытаюсь сравнить известный кватернион с двумя абсолютными точками в пространстве.Я надеюсь, что смогу просто преобразовать точки во второй кватернион, что даст мне простой способ сравнить их.

До сих пор я превращал две точки в единицу.вектор.Оттуда я надеялся, что смогу напрямую подключить ijk к воображаемой части кватерниона со скалярным нулем.Оттуда я мог умножить один кватернион на сопряженный другой, в результате чего был получен третий кватернион.Этот третий кватернион может быть преобразован в осевой угол, давая мне степень, на которую исходные два кватерниона отличаются.

Является ли этот мыслительный процесс правильным?Так что должно быть просто [0 ijk].Возможно, мне придется нормализовать кватернион впоследствии, но я в этом не уверен.

У меня плохое предчувствие, что это не прямое отображение вектора на кватернион.Я пытался посмотреть, как преобразовать единичный вектор в угол оси, но я не уверен, что это сработает, поскольку я не знаю, какой угол указать в качестве входного значения.

Answer 1

нотация

Кватернионы определены в четырехпространстве с основаниями {1, i, j, k}. Гамильтон, как известно, вырезал фундаментальные отношения в камне моста Брогама в Дублине:

i ² = j ² = k ² = i j k = -1.

Существует много эквивалентных кватернионных параметризаций, но здесь я буду использовать форму {скаляр, вектор }.

1.) A = {a0, a } и B = {b0, b }, где A и B - кватернионы, a0 и b0 - скаляры, а a и b - три вектора.

2.) X = {0, x } - векторный кватернион .

3.) (Некоммутативное) кватернионное произведение напрямую вытекает из свойств i, j и k, приведенных выше, A 'B = {a0 b0 - a . b , a0 b + b0 a + a x b }

4.) Кватернионный конъюгат представляет собой A ^* = {a0, - a }

5.) конъюгат кватернионного произведения является произведением конъюгатов в обратном порядке.
(A & otimes; B) ^* = B ^* & times; A ^*

6.) сопряжение векторного кватерниона является его отрицательным. X ^* = {0, - x } = -X

7.) Кватернионная норма - это | A | = & radic; (A & o; A ^*) = & radic; (a0 & sup2; + a . a )

8.) единица кватерниона - это та, которая имеет норму 1.

9.) Единица трехвекторная x = {x ₁ , x ₂ , x ₃ } с х . x = 1 выражается как единичный векторный кватернион X = {0, x }, | X | = 1.

10.) Сферическое вращение вектора кватернионов X на угол & theta; о единичной векторной оси n составляет Q & times; X & times; Q ^*, где Q - кватернион {cos (& theta; / 2), sin (& theta; / 2) n }. Обратите внимание, что | Q | = 1.

Обратите внимание на форму векторного продукта кватерниона. Заданные векторные кватернионы X ₁ = {0, x ₁ ) и X ₂ = {0, x ₂ }, кватернионное произведение X ₂ * X ₁ ^* = { x ₁ . x ₂ , x ₁ & times; x ₂ }. Кватернион воссоединяет точечное произведение как скалярную часть и перекрестное произведение как векторную часть, разведенную более ста лет назад. Ни один из этих продуктов не является обратимым, но кватернион описан ниже.

Инверсия

Найдите кватернион сферического преобразования Q ₁₂ , чтобы повернуть вектор X ₁ для выравнивания с вектором X ₂ .

Сверху

X ₂ = Q ₁₂ - * X ₁ - Q ₁₂ ^*

Умножение обеих сторон на X ₁ ^*,

X ₂ & x;; X ₁ ^* = Q ₁₂ & x; X ₁ & times; ( Q _{12 * +1201 ** +1202 ** & otimes; Х 1 ^*)}

Помните, что ось вращения n является производной от перекрестного произведения x ₁ & times; x ₂ так что n . x ₁ = 0 и Q ^* * X ^* = (X Q) ^* = X ^* Q, оставляя

X ₂ & otimes; X ₁ ^* = Q ₁₂ & otimes; X ₁ & otimes; X ₁ ^* - Q ₁₂ = Q ₁₂ - Q ₁₂

Таким образом, кватернионное преобразование может быть решено непосредственно как

Q ₁₂ = & radic; (X ₂ & times; X ₁ ^*)

Вы один на квадратный корень кватерниона.Есть много способов сделать это, и лучший будет зависеть от вашего приложения, учитывая скорость и стабильность.

- hth,
Fred Klingener