стрелять снарядом (прямая траектория) по движущейся цели в 3-х измерениях - PullRequest
Новая
       20

стрелять снарядом (прямая траектория) по движущейся цели в 3-х измерениях

8 голосов
/ 20 января 2011

Я уже погуглил проблему, но нашел только двухмерные решения или формулы, которые мне не подошли (нашел эту формулу, которая выглядит красиво: http://www.ogre3d.org/forums/viewtopic.php?f=10&t=55796, но, похоже, не верна).

Я дал: 

Vec3 cannonPos;
Vec3 targetPos;
Vec3 targetVelocityVec;
float bulletSpeed;

то, что я ищу, это время t, такое, что 

targetPos+t*targetVelocityVec

- это точка пересечения, куда нужно направить пушку и выстрелить.

Я ищу простую, недорогую формулу для t (под простым я просто подразумеваю не делать много ненужных преобразований векторного пространства и т. П.)

спасибо!

1 Ответ

15 голосов
/ 20 января 2011

Настоящая проблема - выяснить, где в космосе пуля может пересекать путь цели. Скорость пули постоянна, поэтому через определенное время она будет перемещаться на одно и то же расстояние независимо от направления, в котором мы ее запускаем. Это означает, что его позиция после времени t всегда будет лежать на сфере. Вот ужасная иллюстрация в 2d:

Эта сфера может быть математически выражена как: 

(x-x_b0)^2 + (y-y_b0)^2 + (z-z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2      (eq 1)

x_b0, y_b0 и z_b0 обозначают положение пушки. Вы можете найти время t, решив это уравнение для t, используя уравнение, приведенное в вашем вопросе: 

targetPos+t*targetVelocityVec                                   (eq 2)

(eq 2) является векторным уравнением и может быть разложено на три отдельных уравнения: 

x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z

Эти три уравнения можно вставить в (eq 1): 

(x_t0 + t * v_x - x_b0)^2 + (y_t0 + t * v_y - y_b0)^2 + (z_t0 + t * v_z - z_b0)^2 = (bulletSpeed * t)^2

Это уравнение содержит только известные переменные и может быть решено за t. Присваивая константу постоянную часть квадратичных подвыражений, мы можем упростить вычисление: 

c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
(v_b = bulletSpeed)

(t * v_x + c_1)^2 + (t * v_y + c_2)^2 + (t * v_z + c_3)^2 = (v_b * t)^2

Переставьте его как стандартное квадратное уравнение: 

(v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2)t^2 + 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)t + (c_1^2+c_2^2+c_3^2) = 0

Это легко разрешимо, используя стандартную формулу. Это может привести к нулю, одному или двум решениям. Нулевые решения (не считая сложных решений) означают, что пуля не может достичь цели. Одно из решений, вероятно, произойдет очень редко, когда целевая траектория пересекается с самым краем сферы. Два решения будут наиболее распространенным сценарием. Отрицательное решение означает, что вы не можете поразить цель, так как вам нужно будет выстрелить в прошлое. Это все условия, которые вы должны проверить.

Когда вы решили уравнение, вы можете найти положение t, вернув его обратно в (eq 2). В псевдокоде: 

# setup all needed variables
c_1 = x_t0 - x_b0
c_2 = y_t0 - y_b0
c_3 = z_t0 - z_b0
v_b = bulletSpeed
# ... and so on

a = v_x^2+v_y^2+v_z^2-v_b^2
b = 2*(v_x*c_1+v_y*c_2+v_z*c_3)
c = c_1^2+c_2^2+c_3^2

if b^2 < 4*a*c:
    # no real solutions
    raise error

p = -b/(2*a)
q = sqrt(b^2 - 4*a*c)/(2*a)

t1 = p-q
t2 = p+q

if t1 < 0 and t2 < 0:
    # no positive solutions, all possible trajectories are in the past
    raise error

# we want to hit it at the earliest possible time
if t1 > t2: t = t2
else: t = t1

# calculate point of collision
x = x_t0 + t * v_x
y = y_t0 + t * v_y
z = z_t0 + t * v_z
...