Какие «граничные условия» могут сделать прямоугольник «похожим» на круг?

Question

Я решаю нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка во времени и пространстве (t, x) в квадратной области с периодическими или свободными граничными условиями с помощью MATHEMATICA.

БЕЗ использования конформного отображения, какие граничные условия вкрай или угол, который я мог бы использовать, чтобы квадратная область «казалась» круговой областью для моего нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, которое является декартовым?

Параметры, которые я бы НЕ хотел быможно использовать:

• Конформное отображение
• изменение моего уравнения на полярные / цилиндрические координаты?

Это то, что я преследую исключительно из интереса только вслучай, когда кто-то кричит кровавое убийство, если его неправильно истолковывают как проблему с домашним заданием!:P

Answer 1

Этот вопрос был задан, когда люди узнали, что мир сферический. Они хотели сделать прямоугольные карты поверхности мира ...

Это невозможно.

Причина, по которой это невозможно, заключается в том, что сфера имеет внутреннюю кривизну , а куб / параллелепипед - нет. Можно показать, что для двух элементов с различными собственными кривизнами их поверхности не могут быть отображены при сохранении либо бесконечно малых расстояний, либо расстояние между двумя точками определяется евклидовым расстоянием.

Самый простой способ понять эту проблему - это выбрать какой-то прямоугольный лист бумаги и попытаться сделать из него сферу, не растягивая и не сжимая ее (вы можете сложить). Ты не можешь С другой стороны, вы можете сделать поверхность цилиндра, потому что у цилиндра также нет внутренней кривизны.

На картах обычно люди используют один из двух вариантов:

1. аппроксимируйте локальную поверхность сферы касательной плоскостью и сделайте из нее прямоугольник. (локальная карта какого-то региона)

2. создает карты мира, но повсеместно используют некоторые изогнутые линии, определяющие, что расстояния измерения должны быть сделаны в соответствии с этими линиями.

Это также основная причина, по которой при путешествии из Европы в Северную Америку самолеты, кажется, изгибаются, всегда пытаясь пройти вблизи Канады. Если мы измерили расстояние от прямоугольной карты, мы видим, что они должны идти по прямой линии, чтобы минимизировать расстояние. Однако, поскольку мы отображаем две разные внутренние кривизны, реальное расстояние должно измеряться другим способом (а не через прямую линию).

Для 2D (фактически для nD) применимы те же рассуждения.