Если все, что вам нужно, это хранить время, проведенное на сайте в localStorage, то вам не нужно решать эту проблему http / https. Расширения имеют собственный изолированный localStorage, к которому вы можете получить доступ в любое время в любом месте, поэтому просто храните свои данные там.
Вы можете получить доступ к этому localStorage только с фоновой страницы, поэтому из скрипта контента вам сначала нужно будет отправить запрос на фоновую страницу, а затем работать с localStorage:
content_script.js:
chrome.extension.sendRequest({do: "save", value: "some_value"});
background.html:
chrome.extension.onRequest.addListener(function(request) {
if(request.do == "save") {
localStorage["param"] = request.value;
}
});