Нет, Java на клиенте не имеет ничего общего с запущенными сервлетами (иначе сервлеты будут бесполезны, например, для клиентов iPad)
На сервере есть собственная JVM, которая запускает сервлет, без кода на стороне клиента, кроме браузера, который отображает полученный HTML.