Ну, я смог обойти проблему. Не очень элегантно и может увеличить нагрузку на производительность, но было самым простым, учитывая работу по воссозданию проекта.
Я создал еще одну страницу aspx и установил переменные соединения с помощью объекта Application в Page_Load страницы, а затем сделал response.redirect для предыдущего файла по умолчанию. Мне повезло, так как весь код ссылался на объект приложения, и это было установлено только в Global.asax - если бы был какой-либо код, который непосредственно указывал на строку подключения - тогда я был бы облажался!
Единственными издержками было то, что Application_Start будет вызываться только один раз - но перезапись этих значений с помощью Page_Load будет вызываться каждый раз, когда делается запрос. Вид компромисса, который я готов сделать.
Я не мог согласиться с предыдущим ответом, так как в нем упоминался «идеальный» случай и лучшие практики - он не решил мою проблему. Предыдущее решение должно быть принято, если предыдущий SQL-сервер может быть полностью понижен в должности.
Спасибо, ребята!