Это всего лишь некоторые идеи о том, как разобраться в проблеме.Сейчас я продолжу использовать Mathematica, так как это более удобно (и, судя по приведенному выше коду, вы сможете управлять этим в MATLAB, если нет, я постараюсь преобразовать его).Однако, если у вас есть Mathematica, и вы можете проверить их, это было бы здорово.
Фиксированная точка : Фиксированная точка функции f(x) - это точка, которая является решением f(x)=x;другими словами, точка, в которой функция отображает ее на себя.
Решая для вашей функции, вы получаете x=0 и x=3/4 в качестве фиксированных точек.
In:= Solve[Min[3/2 x, 3 - 3 x] - x == 0, x]
Out= {{x -> 0}, {x -> 3/4}}
Действительно,Траектория, которая начинается в этих точках, останется в этих точках навсегда.Вы также можете в интерактивном режиме наблюдать за эффектами при изменении начальной точки и количества итераций, используя
Manipulate[
CobwebDiagram[xstart, steps], {xstart, 0, 1, 1/1000}, {steps, 1, 200,
1}]
Природа неподвижных точек
Давайте посмотрим на природуфиксированных точек.Если это аттрактор, точки в произвольно малой окрестности размером с эпсилон неподвижной точки остаются в окрестности аналогичного размера (не обязательно должны быть точно такого же размера), а если это отталкивающий элемент, он получает отталкиваемый ирасходится в совершенно произвольную точку за пределами окрестности (мои определения здесь довольно слабые, но думаю, что подойдет)
Итак, попробовав следующее
eps = 10^-16;
CobwebDiagram[0.75 + eps, 200]
, мы получим
Рис.(1)
, который, конечно, не выглядит как сходящийся к фиксированной точке.Действительно, если вы посмотрите на эволюцию x[t], вы увидите, что она расходится
Clear[f]
f[1] = 0.75 + eps;
f[t_] := f[t] =
Piecewise[{{3/2 f[t - 1], 0 <= f[t - 1] <= 2/3}}, 3 (1 - f[t - 1])];
ListLinePlot[Table[f[n], {n, 1, 200}]]
Рис.(2)
Результат будет аналогичным, если вы возмущаете его в другом направлении, то есть f[1]=0.75-eps.
Для другой фиксированной точки (на этот раз она может возмущаться только в одном направлении, так как функция определена для x>=0), вы увидите, что поведение такое же, и, следовательно, два фиксированныхточки кажутся расходящимися.
Рис.(3)
Рис.(4)
Теперь рассмотрим начальную точку x[1]=18/25.
CobwebDiagram[18/25, 200]
Рис.(5)
Вау !!Это выглядит как предельный цикл !
Предельный цикл: Предельный цикл - это замкнутая траектория системы, из которой нет возможностидостижения точки не на траектории, даже как t->Infinity.Итак, когда вы смотрите на x[t], вы видите что-то вроде
Рис.(6)
, что повторяется всего в 3 точках (сжатие изображения создает шаблон Муар , но на самом деле, если вы строите его длянебольшое количество шагов, вы увидите 3 балла. Я просто слишком сонный, чтобы вернуться и переселить его).Три точки: 12/25, 18/25 и 21/25.Начиная с любой из этих трех точек, вы попадете в один и тот же предельный цикл.
Теперь, если к нему сходятся траектории, достаточно близкие к предельному циклу, это притягивающий / устойчивый предельный цикл, иначе это отталкивающий / нестабильныйпредельный цикл.Возмущаясь на eps в любом направлении, как и раньше, мы видим, что траектория расходится (я только показываю направление + ve ниже).
Рис.(7)
Рис.(8)
Интересно, что начиная с x[1]=19/25 отображает его на 18/25 на следующем шаге, который затем продолжается бесконечно на траектории предельного цикла.Легко понять, почему это происходит, поскольку строка от 19/25 до y=x является просто продолжением строки от 12/25 до y=x (то есть от первого фрагмента функции).По той же логике, должны быть точки, соответствующие 18/25 и 21/25, но я не собираюсь их сейчас искать.В свете этого я не совсем уверен, действительно ли предельный цикл действительно притягивает или отталкивает (в соответствии со строгим определением предельного цикла, должна быть только одна другая траектория, которая входит в него, и мы 'мы нашли три! Возможно, кто-то, кто знает больше об этом, может повлиять на это).
Еще несколько мыслей
Начальная точка 1/2 также интересна, поскольку на следующем шаге вы переходите к 3/4, который является фиксированной точкой иследовательно, остается там навсегда.Точно так же точка 2/3 переносит вас в другую фиксированную точку в 0.
CobwebDiagram[1/2, 200]
Рис.(9)
CobwebDiagram[2/3, 200]
Рис.(10)
Поведение колебаний также говорит вам кое-что о системе.Если вы посмотрите на траекторию в Рис.(2,4) , системе требуется больше времени для превращения в хаос в случае с фиксированной точкой 0, чем в другом.Кроме того, на обоих графиках, когда траектории приближаются к 0, для его восстановления требуется больше времени, чем на 3/4, где он просто быстро развевается.Они похожи на релаксационные колебания (представьте себе, что конденсатор медленно заряжается и мгновенно разряжается при коротком замыкании).
Это все, что я могу себе представить.Наконец, я полагаю, что точный характер неподвижных точек должен быть проанализирован в общих условиях устойчивость по Ляпунову , но я не собираюсь на этом останавливаться.Я надеюсь, что этот ответ дал вам несколько вариантов для изучения.