Если ваш клиент работает на основе веб-браузера, IMAP-соединение автоматически закрывается после выполнения скрипта. Даже если вы оставите ваше соединение живым, я не вижу способа сохранить «ресурс соединения» между запросами.
Конечно, вы можете попробовать некоторые не рекомендуемые, уродливые хаки, такие как бесконечный скрипт или погрузиться в HTML5 и его веб-сокеты.