Найти аналитическое решение этой системы квадратных уравнений - PullRequest
Новая
       10

Найти аналитическое решение этой системы квадратных уравнений

0 голосов
/ 03 июля 2019

Я свел свою проблему к этой системе из 3 квадратичных уравнений: 

  (k1*x + k2*y + k4)^2 = k7      
  (k2*y + k3*z + k5)^2 = k8      
  (k3*z + k1*x + k6)^2 = k9

  (Solve for x, y, z, k1..k9 are constants)

Я потратил довольно много времени, не найдя аналитического решения.Может кто-нибудь дать мне решение?

PS Есть некоторые отношения между константами, которые могут упростить проблему.Я могу опубликовать их в случае необходимости завтра.

Спасибо, Питер

1 Ответ

1 голос
/ 04 июля 2019

чистая математика, но разрешимая программированием, ... сначала используйте комментарий Жиля-Филиппа Пайе и отдельные переменные: 

(k1*x + k2*y + k4)^2 = k7
(k2*y + k3*z + k5)^2 = k8
(k3*z + k1*x + k6)^2 = k9
-------------------------
k1*x + k2*y + k4 = sqrt(k7)
k2*y + k3*z + k5 = sqrt(k8)
k3*z + k1*x + k6 = sqrt(k9)
-------------------------
k1*x + k2*y = sqrt(k7) - k4
k2*y + k3*z = sqrt(k8) - k5
k3*z + k1*x = sqrt(k9) - k6
-------------------------
k1*x + k2*y +  0*z = sqrt(k7) - k4
 0*x + k2*y + k3*z = sqrt(k8) - k5
k1*x +  0*y + k3*z = sqrt(k9) - k6
-------------------------

Теперь вы можете переписать в матричную форму 

    | k1 k2  0 |
A = |  0 k2 k3 |
    | k1  0 k3 |

    | x |
B = | y |
    | z |

    | sqrt(k7) - k4 |
C = | sqrt(k8) - k5 |
    | sqrt(k9) - k6 |


             A * B =              C
Inverse(A) * A * B = Inverse(A) * C
                 B = Inverse(A) * C

Так что это простая обратная матрица 3х3.Если вы расширите его до 4x4, добавив нулевое заполнение и добавив 1 к диагонали, вы можете использовать обратную матрицу 4x4 следующим образом:

Просто найдите matrix_inv в примере кода C ++.Там вы также можете найти умножение матрицы и вектора matrix_mul_vector ...

Код на C ++ будет выглядеть так: 

double A[16]=
 {
 k1, 0,k1, 0,
 k2,k2, 0, 0,
  0,k3,k3, 0,
  0, 0, 0, 1
 };
double B[4],C[4]=
 {
 sqrt(k7) - k4,
 sqrt(k8) - k5,
 sqrt(k9) - k6
 };

matrix_inv(A,A);
matrix_mul(B,A,C);

сейчас B должен содержать ваш результатx,y,z значения, если ваше уравнение имеет решение.Осталось только добавить комбинации знаков как sqrt потери системы ... Если все константы и переменные неотрицательны, вы можете об этом забыть и использовать результат напрямую, не пытаясь использовать 8 комбинаций ...

Если я вижу это правильно, комбинации выполняются следующим образом 

double C[4]=
 {
 (+/-)sqrt(k7) - k4,
 (+/-)sqrt(k8) - k5,
 (+/-)sqrt(k9) - k6
 };

, поэтому для каждой из 8 C комбинаций вычисляем результат ... Сами комбинации могут быть сделаны дляВыполните цикл, используя 3 младших бита переменной итератора, чтобы определить знак, например: 

matrix_inv(A,A);
for (int i=0;i<8;i++)
 {
 if ((i&1)==0) C[0]=+sqrt(k7)-k4; else C[0]=-sqrt(k7)-k4;
 if ((i&2)==0) C[1]=+sqrt(k8)-k5; else C[1]=-sqrt(k8)-k5;
 if ((i&4)==0) C[2]=+sqrt(k9)-k6; else C[2]=-sqrt(k9)-k6;
 matrix_mul(B,A,C);
 // here B holds the i-th solution
 }

В случае сложной области просто измените double со сложным типом данных ...

...