Что вы пытаетесь сделать с уменьшенной формой эшелона?Вам просто нужны базовые векторы, чтобы иметь их, или вы пытаетесь решить систему уравнений?Если вы решаете систему уравнений, вы можете выполнить факторизацию LU и, вероятно, получить более быстрое время расчета.В противном случае устранение по Гауссу с частичным поворотом - ваш самый быстрый вариант.
Также знаете ли вы, что ваша матрица имеет особую форму?Например, верхняя или нижняя треугольная.Если это так, то вы можете переписать некоторые из этих алгоритмов, чтобы они были быстрее в зависимости от типа матрицы, которая у вас есть.