Как моменты теневых карт дисперсии попадают в неравенство Чебышева

Question

Я с трудом понимаю, как эти моменты превращаются в неравенство Чебышева. Я читаю о технике в следующей статье .

В статье написано следующее:

Используя дисперсию, мы можем применить неравенство Чебышева для вычисления верхней границы вероятности того, что затененная в данный момент поверхность (на глубине t) перекрыта:

Итак, согласно этой цитате, в уравнении неравенства Чебышева выше t - это текущая глубина фрагмента, которую мы выбираем, а x - это значение в карте теней для фрагмента, который это первый момент M1=E(x) для данной области ядра размытия, и мы получаем верхнюю границу вероятности того, что x>=t, что соответствует вероятности того, что текущая глубина фрагмента меньше глубины среднего значения в область ядра размытия.

Теперь, в моем понимании, сложность заключается в том, как я только что написал:

вероятность того, что текущая глубина фрагмента меньше среднего значения размытия площадь ядра

фактически равна:

вероятность того, что заштрихованная поверхность (на глубине t) равна oc в комплекте

И что здесь за знаменатель σ^2 + (t - μ)^2? В неравенстве Чебышева, насколько я понял, знаменатель должен быть равен c^2, который здесь равен t^2.

Есть некоторые вещи, которые я, очевидно, не понимаю, и был бы рад, если бы кто-то мог прояснить это для меня.

Answer 1

Они используют неравенство Кантелли , которое является обобщением неравенства Чебышева.

В нем говорится, что:

P(x - Ex ≥ λ) ≤ σ²/(σ² + λ²)

Мы подставляем λ = t - Ex, чтобы получить :

P(x - Ex ≥ t - Ex) ≤ σ²/(σ² + (t - Ex)²)

Ex отменяет:

P(x ≥ t) ≤ σ²/(σ² + (t - Ex)²)

Также Ex = μ, поэтому

P(x ≥ t) ≤ σ²/(σ² + (t - μ)²)

---

x является значение в карте теней для фрагмента, который является первым моментом M1 = E (x) для данной области ядра размытия

Это не то, что x. x - это случайная величина, которая представляет неизвестную глубину ближайшего пересечения луча, выходящего из источника света в направлении фрагмента. Значение в теневой карте - это ожидаемое значение (среднее значение, первый момент) этой случайной величины. Это важное различие, которое нужно сделать.

Сказать, что «в настоящее время затененная поверхность (на глубине t) закрыта ... точкой на глубине x», переводится в «x ≥ t». Соответственно нас интересует вероятность x ≥ t.