3D Perlin шум аналитическая производная - PullRequest
Новая
       67

3D Perlin шум аналитическая производная

10 голосов
/ 28 ноября 2010

В настоящее время я реализую трехмерное отображение шума Перлина с использованием Shader Model 4 (DirectX 10 HLSL). Генерация самого шума не является большой проблемой (существует множество учебных пособий и кодов), но я не нашел аналитических производных трехмерного шума Перлина.

Единственными сайтами, учитывающими производные, являются сайт Иньиго Квилеса и связанное с ним обсуждение GameDev.net . Проблема в том, что в первом звене шум основывается на значении, а не на градиенте (что для меня является обязательным требованием), а во втором звене есть только производная градиентного шума 2D.

Обратите внимание, что я не ищу числовые производные, поскольку для их генерации требуется 4 соседних образца шума, а это слишком много накладных расходов.

Кто-нибудь рассчитывал эти производные? Есть ли эталонная реализация, которая их использует?

1 Ответ

19 голосов
/ 03 января 2013

Я также не смог найти решение в Интернете сегодня, поэтому я попытался получить его.

Сначала определяются обозначения трехмерного шума Перлина.

Обозначение

Предположим, что трехмерный шум Перлина вычисляется трилинейной интерполяцией как 

n = Lerp(
        Lerp(
            Lerp(dot000, dot100, u),
            Lerp(dot010, dot110, u),
            v), 
        Lerp(
            Lerp(dot001, dot101, u), 
            Lerp(dot011, dot111, u),
            v),
        w)

, где u, v, w - коэффициенты интерполяции по квинтическому полиному от координат дроби (т. Е. Улучшенный шум Перлина): 

x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1

u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)

и dot___ s - точечные произведения векторов градиента (gx___, gy___, gz___) s в точках решетки и координатах дроби: 

dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1

Вычисление производных

Сначала вычислим производные u, v и w

u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)

Путем расширения n на Lerp(a, b, t) = a + (b - a) * t, 

n = dot000 
  + u(dot100 - dot000)
  + v(dot010 - dot000)
  + w(dot001 - dot000)
  + uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
  + uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
  + vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
  + uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)

Тогда возьмите частные производные от n, 

nx = gx000
   + u'  (dot100 - dot000)
   + u   (gx100 - gx000)
   + v   (gx010 - gx000)
   + w   (gx001 - gx000)
   + u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
   + u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
   + vw  (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
   + u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)


ny = gy000
   + u   (gy100 - gy000)
   + v'  (dot010 - dot000)
   + v   (gy010 - gy000)
   + w   (gy001 - gy000)
   + uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
   + uw  (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
   + v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
   + uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)


nz = gz000
   + u   (gz100 - gz000)
   + v   (gz010 - gz000)
   + w'  (dot001 - dot000)
   + w   (gz001 - gz000)
   + uv  (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
   + uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
   + vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
   + uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)

Тогда (nx, ny, nz) является вектором градиента (частными производными) функции шума.

Оптимизация

Некоторые общие подвыражения могут быть учтены, если компилятор не может их обработать. Например: 

uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w

Коэффициенты в расширенном n используются многократно. Их можно вычислить по: 

k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3

Также производные имеют аналогичные коэффициенты, 

gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...

При вычислении n может использоваться расширенная форма с k0, ... k6.

Заключительные слова

Это решение было проверено по методу центральной разности.

Хотя это решение выглядит неуклюже, мой эксперимент (только ЦП, SSE) показал, что вычисление этих производных с помощью этого решения потребует всего 50% дополнительного времени для вычисления одиночного образца шума Перлина в 3D.

Для конечной разницы, по крайней мере, потребуется 300% дополнительного времени (для дополнительных 3 выборок) или 600% (для 6 основных проб для центральной разницы).

Следовательно, это решение лучше по производительности, а также должно быть более численно стабильным.

...