Как сказал @ Николодеон, законы Де Моргана являются ключом к пониманию утверждений "ни / ни".Законы могут выглядеть немного страшно, но у них вполне естественная интерпретация.С заявлениями в форме «Ни P, ни Q» не так-то просто работать, потому что естественные предложения формируются не просто так.Однако «ни P, ни Q» нельзя перефразировать как «это не тот случай, когда P, и это не тот случай, когда Q».Если бы у нас было естественное предложение, такое как «мне не нравится ни шоколад, ни ваниль», мы могли бы переписать его в такую форму: «Это не тот случай, когда я люблю шоколад, и это не тот случай, когда я люблю ваниль».Затем мы видим, что утверждение «Я люблю шоколад» играет роль P, а «Я люблю ваниль» играет роль Q, и что наше предложение действительно имеет вид «Ни P, ни Q».Но давайте придерживаться формулировки «Это не тот случай, что P, и это не тот случай, когда Q», который можно записать символами как «~ P & ~ Q».Утверждение, что оба из P и Q являются ложными, равнозначно утверждению, что ни один из них не является истинным.Это можно переформулировать так: «Это не тот случай, когда хотя бы один из P и Q верен», что является отрицанием «По крайней мере один из P и Q истинен» - в символах «~ (PVQ)».Это один из законов де Моргана, и его также можно проверить с помощью таблицы истинности.Аналогичное рассуждение стоит за другим законом, который гласит, что «~ PV ~ Q» эквивалентно «~ (P & Q)».
Многие логические предложения могут быть сформулированы в терминах предикатов, что помогает нам провести четкое различие между отдельными заявлениями, которые мы делаем (которые мы теперь называем предикатами), и объектами, о которых мы делаем заявления.Например, альтернативный способ перевода «Я не люблю шоколад, и я не люблю ваниль» - это «~ L (шоколад) & ~ L (ваниль)», где «L (х) "означает" мне нравится х ".Теперь структура предложения более понятна: мы делаем одно и то же утверждение, но о двух разных объектах.Используя предикаты, мы получаем больше гибкости для манипулирования нашими утверждениями, но старые правила (такие как правила де Моргана) все еще применяются, поэтому все еще можно переписать это предложение как «~ (L (chocolate) VL (vanilla))».
Теперь давайте сначала рассмотрим «Ни Джон, ни Мэри не стоят перед Джимом или Кэри» как утверждение о Джоне и Мэри.Предикат тогда - это F (X): «Х стоит перед Джимом или Кэри», и мы можем сначала переформулировать предложение на «Это не тот случай, когда Джон стоит перед Джимом или Кэри, и этодело не в том, что Мэри стоит перед Джимом или Кэри ", что в символах становится" ~ F (Джон) и ~ F (Мэри) ".Если мы хотим, мы можем вместо этого рассматривать предложение как утверждение об относительных позициях всех четырех человек, используя предикат G (X, Y): «X стоит перед Y».Затем «Х стоит перед Джимом или Кэри», который мы можем переписать так: «Х стоит перед Джимом, или Х стоит перед Кэри», становится «G (X, Джим) VG (X,Cary) ", и все предложение становится" ~ (G (Джон, Джим) VG (Джон, Кэри)) & ~ (G (Мэри, Джим) VG (Мэри, Кэри)) ".Теперь попробуйте использовать законы Деморгана (сначала для каждого из самых внутренних операторов, затем для самого внешнего оператора) и посмотрите результаты - и попытайтесь «увидеть», что результирующий оператор выражает то же самое.