Учитывая текущие возможности браузера, вы можете перехватить событие копирования, получить выделение без стиля и поместить его в буфер обмена.
Я тестировал этот код с помощью Chrome / Safari / Firefox. Поверьте, это должно работать и на браузерах MS.
document.addEventListener('copy', function(e) {
const text_only = document.getSelection().toString();
const clipdata = e.clipboardData || window.clipboardData;
clipdata.setData('text/plain', text_only);
clipdata.setData('text/html', text_only);
e.preventDefault();
});