одно возможное решение:
сделать "фон" массивом из 3 элементов
Image[] background = new Image[3];
загрузить три фоновых изображения по одному в фон [0], фон [1]и background [2].
создайте новую приватную переменную, возможно, называемую stage, и увеличивайте при продвижении:
private int stage = 0;
public void nextStage() { stage++; }
наконец, в paint (), нарисуйте желаемый фон, согласнок значению стадии:
g2d.drawImage(background[stage % 3], 0, 0, null);