После проецирования 3D точек в 2D, как вернуться в 3D?

Question

Простой вопрос: я использовал матрицу перевода и вращения и матрицу встроенных функций камеры, чтобы получить матрицу 3x4, используемую для преобразования 3d-точек в 2d-точки (обозначенную как Tform)

Я преобразовал точку [10, -5, 1] с матрицей, добавляя единицу в конец, и новая точка обозначается как новая точка.

Теперь я хочу использовать данные новой точки для преобразования обратно в трехмерное пространство, где old_est должно быть равно старому.

Я ищу решение для подключения к матрице XXX в моем коде ниже

import numpy as np

Tform=np.array([[4000,0,-1600,-8000],[500,5000,868,-8000],[.5,0,.8,-8]])
old=np.array([10,-5,1,1])
newpoint=np.dot(Tform,old)
print(newpoint)

old_est=np.dot(XXX,np.append(newpoint,1))
print(old_est)

Answer 1

Добавьте 4-ю строку к Tform со значениями 0 0 0 1, то есть последней строкой единичной матрицы:

>>> m = np.vstack(Tform, np.array([0,0,0,1]))
>>> m
array([[ 4.00e+03,  0.00e+00, -1.60e+03, -8.00e+03],
       [ 5.00e+02,  5.00e+03,  8.68e+02, -8.00e+03],
       [ 5.00e-01,  0.00e+00,  8.00e-01, -8.00e+00],
       [ 0.00e+00,  0.00e+00,  0.00e+00,  1.00e+00]])

_{Обратите внимание, что вы не можете использовать append, потому что это такжевыравнивает входные массивы.}

Обратите внимание, что при умножении на old четвертый компонент результата равен 1, т. е. результат равен np.append(newpoint, 1):

>>> np.dot(m, old)
array([ 3.0400e+04, -2.7132e+04, -2.2000e+00,  1.0000e+00])
                                               ----------

Следовательно, XXX является обратным этой новой матрицы:

>>> XXX = np.linalg.inv(m)
>>> np.dot(XXX, np.append(newpoint, 1))
array([10., -5.,  1.,  1.])
       -------------

И мы получаем компоненты old обратно.

_{В качестве альтернативы вы можете вычесть 4-й столбец Tform из newpoint и умножить результат на инверсию левой подматрицы 3x3 Tform, но это немного неудобно, поэтому мы можем также позволить numpy сделатьбольше работы :) 1030 *}