Соотношения плиток к вершинам в мозаиках 2D с трехвалентными вершинами

Question

Рассмотрим мозаику 2D-пространства с полигонами (плитки не обязательно должны быть одинаковой формы). Если каждая вершина должна быть соединена с тремя линиями, можем ли мы сделать заявление об отношении вершин к граням? В гексагональной и усеченной гексагональной плитке это соотношение составляет 2: 1. Но как это можно доказать для всех случаев, если это правда?

Answer 1

Мы можем использовать для этого эйлерову характеристику chi. Определяется как

chi = v - e + f
v ... number of vertices
e ... number of edges
f ... number of faces

Конечная плоскость имеет эйлерову характеристику chi = 1, бесконечная плоскость (похожая на тор) имеет эйлерову характеристику chi = 0.

Учитывая ограничение, что каждая вершина связана с тремя ребрами (и каждое ребро соединено с двумя вершинами), мы имеем

2e = 3v

Подставив это в определение характеристики Эйлера, мы получим:

chi = v - 3/2 v + f
    = f - 1/2 v

В случае бесконечной плоскости (chi = 0) мы тогда получим

    0 = f - 1/2 v
1/2 v = f
    v = 2 f

И это соотношение, которое вы упомянули. Следовательно, это верно не только для шестиугольных углов, но и для всех углов, где каждая вершина соединена с тремя ребрами, независимо от того, какие полигоны используются.